Presentación:

Hola, mi nombre es Ricardo López, soy egresado de la escuela Bancaria y Comercial. Soy tu docente en línea de la materia de Matemáticas II.

A continuación desarrollaremos los temas de límites y continuidad, y las derivadas.

Para que la clase

  • La clase que a continuación daremos no desarrollaremos formulas complejas, la clase servirá como un medio para que entiendas la función de los límites y de las derivadas, y entiendas lo que estas calculando.

Puedes visualizar la explicación en el siguiente video.


También puedes descargar la presentación electrónica haciendo clic acá. PCS – Matematicas II

 

Los límites y el espacio. (hoja de puntos)

¿Qué te suena cuando escuchas la palabra límite? Te suena a la distancia que existe entre un objeto y otro. 3

Esta distancia puede ser subjetiva, Debido a que depende en qué punto la estés mirando tomara diferente valor.

¿20 cm es mucho o es poco?

Dependerá de para que queramos medirlo.

Por ejemplo, un doctor que realiza una cirugía a corazón abierto, 20 cm es un abismo entre una vida y la muerte. 20 cm entre el aparato quirúrgico para cortar y el objetivo de alguna arteria dañada en el corazón significa que debe ser preciso, pues cualquier mal movimiento sin duda pone en riesgo la vida de su paciente.

20 cm estudiando átomos y partículas microscópicas, sin duda cabe un abismo de mares inmensos.

20 cm entre un objeto y otro, digamos, entre un vaso y un plato no representan gran distancia.

Pero si ponemos 20 cm en comparación a la distancia en la que las estrellas tienen respecto a la tierra entonces entendemos que son prácticamente nada.

Dejemos los 20 cm y pongamos 5 cm de altura entre una persona y otra… seguramente se notara la diferencia.

Podemos ver en nuestra pantalla que tenemos el punto de color azul, el cual es un destino. Pongamos una tienda deportiva que se encuentra en una ciudad. Es la única tienda deportiva que existe-

Los puntos verdes los enfocaremos como la casa de algunas personas que desean comprar artículos deportivos, por un evento municipal de deportes. Vemos que entre los cada uno de los puntos verdes y el punto azul del centro, existe un espacio diferente, a una distancia diferente.

Las personas que viven en estas casas, pueden desplazarse como más les convenga, quizás pueden transportarse a pie, en coche particular, quizás puedan tomar una ruta de camión o pagar por un taxi.

Sin importar la ruta que tomen, llegaran al mismo destino.

Proponemos que tomamos cualquier alternativa de transporte y salimos desde cualquier punto verde.

Al atravesar la ciudad, nos toparemos con los puntos naranjas, que son todos aquellos negocios que hemos identificado. Quizás una carnicería, alguna tienda de mascotas, algún supermercado o centro comercial. Observamos que también existe un espacio entre los puntos naranjas y nuestro destino, el punto azul. Esta distancia es más cercana a las personas que desean comprar , o sea, los puntos verdes.

Si seguimos avanzando, encontraremos los puntos morados, que para efectos prácticos tomaremos que son centros de saludo u hospitales que se encuentran a las inmediaciones céntricas de la ciudad. Nuevamente al observarlos, podemos constatar que existe una distancia diferente entre el punto morado y el punto azul, diferente a los puntos naranjas y los puntos verdes.

Avanzando más, antes de llegar a nuestro destino, podremos encontrar los puntos en color ORO, que representan pequeñas áreas verdes en la ciudad. Nuevamente, si nos paramos sobre cualquiera de ellos observaremos que existe una distancia diferente a la de cualquier punto en el mapa de la ciudad, es decir, en cada punto que nos paremos existe una distancia diferente entre nuestro objetivo.

Podríamos tomar un punto verde y desplazarnos a un punto morado o naranja, o de un punto color ORO desplazarnos a uno morado.

En cada punto que nos situemos y a cada destino que elijamos existirá una distancia, a esa distancia le llamaremos límites. Pues es el total de espacio que se encuentra de un punto a otro.

Haciendo un ejercicio práctico, en donde te encuentres ahora, observa tú al redor, detecta que cosas se encuentran más cercanas y aquellas que se encuentran más lejos dentro de tu misma casa.

Citando algunos ejemplos.

¿Qué tan cerca estas de alguna televisión?, ¿Qué tan distante está el baño?, ¿Qué tan lejos estas de la casa de tus vecinos?, ¿a qué distancia te encuentras de alguna farmacia?

¿A qué distancia te encuentras de tu banda favorita?, ¿a qué distancia te encuentras del sol?

¿Observabas? Todas esas distancias que calculamos imaginariamente representan limites. El espacio en el que tú te encuentras con respecto a la posición del objeto que quieres alcanzar.

Evolución y concepto. 

Las observaciones, los descubrimientos y avances científicos transforman la manera de ver el mundo.

Dos matemáticos, un alemán y un inglés se disputan la paternidad de una idea.

El inglés Isaac Newton y el alemán Gottfried Leibniz, desarrollaron una nueva herramienta, no fue una herramienta más , es una herramienta que cambio la historia, sirvió para entender, para describir mejor, para pensar mejor, para interpretar mejor, para darle vida hasta lo que ahí se encontraba estático. A ellos dos, se les conoce como los padres del cálculo.

El estudio del cálculo se basa en el estudio del cambio en función de alguna variable, cuando se mueven los cambios de la variable.

El cálculo permitió la posibilidad de estudiar y descubrir el movimiento, a partir de él, el hombre pudo encontrar fórmulas para estudiar la velocidad y para la aceleración. Pero no solo de un móvil, un objeto que se encuentra en movimiento, sino también para la velocidad de crecimiento de cualquier proceso que aparece en la naturaleza.

El cálculo tuvo un gran impacto en el estudio de la economía, la biología, la ingeniería y la química, en el movimiento de los planetas, en el flujo de los líquidos, en la expansión de los gases.

El hombre empezó a entender de qué se trataba y a poder modelar lo que veía alrededor. La geometría euclidiana, estudiaba un mundo estático y en el siglo XVII alguien toco el botón de encendido y puso play, toco un botón diferente para entender la realidad. ¿Está lejos, está cerca?

En el ejemplo anterior, deberíamos pensar que condiciones debe cumplir el punto azul para ser una serie de secuencias de puntos en distintas partes de la realidad. Entiendo a la realidad como el espacio en el que se encuentren las cosas.

Analizando los trabajos de Newton y Gottfried se advierten claras diferencias, mientras newton basaba sus investigaciones en los campos de la física, Lainidsh en cambio, sus aportaciones están basadas en el terreno de la geometría.

The Royal Society of London, la casa de ciencias de la ciudad de Londres, definió que el primero al llegar al concepto de cálculo fue Newton pero, Gottfried  fue el primero en publicarlo y transmitirlo de esa forma a la comunidad científica.

  

Límites (Concepto).

A continuación, para efectos prácticos definiremos un concepto de límite, un límite Es el concepto de una función cuando se acerca a un valor determinado. Es decir, Marca una separación entre dos objetos, física o simbólica. Por ejemplo, el ecuador es una línea imaginaria que divide al planeta en dos lados. Entre más nos acerquemos al ecuador, la presencia de calor aumentara, y entre más nos alejemos, por el norte o por el sur, el frío, o la ausencia de calor, aumentara.

Otro ejemplo de límites, son los límites territoriales que existen de país a país.

O en psicología, el concepto de límite es hasta donde tú le permites a otra persona que invada tu espacio personal, o sientas desagrado por una acción determinada.

Aplicaciones. 

Las aplicaciones de la función del limite abarca muchísimas ciencias y áreas de conocimiento, veamos algunos ejemplos.

En la Economía: nos ayuda a conocer el valor máximo o mínimo de nuestro dinero en el mercado financiero en un determinado periodo.  Lo que ayuda a inversionistas tomar decisiones de en qué empresa o acciones le permite generar mayores utilidades respecto a otras.

En la Química: Nos ayuda a conocer las Raciones de concentración. En la nanotecnología, auxilia para conocer los límites de cada sustancia empleados en la construcción de prototipos y el desarrollo.

En la Medicina: Se utiliza en la elaboración de medicamentos y saber las cantidades mínimas o máximas para no provocar efectos colaterales a las personas que los ingerirán.

En la Construcción: Se emplean para conocer los límites de los materiales a emplear, teniendo una noción certera de que usar y que material es más apto según el tipo de construcción.

En la Estadística: ayudan a Delimitar los rangos de una muestra.

En algunas Ingenierías: Son empleados para determinar problemas de peso, ancho, etc.

En la Física: gracias a ellos podemos Obtener el área de curvas para las gráficas de movimientos.

Ejemplos en la vida cotidiana, futbol.

Cuando nos encontramos jugando con un compañero a lanzarnos la pelota, gracias a la aplicación de los límites podríamos determinar el lugar exacto en el que podremos agarrarla, según el punto de partida. Podríamos calcular la velocidad en la que viaja en el espacio, la trayectoria a seguir, la fuerza de impacto y el tiempo que se tomara para llegar.

Toda esta información nos podría ayudar para detener un gol.

La función de límite podemos expresarla de la siguiente manera.

El límite es igual a la función de A. entendamos A como un punto de origen, cuando A es igual a una variable.

Es decir, cuando el origen se sitúa en un punto, un límite tomara diferente valor al que tomaría situado en otro punto.

Ejemplos en la vida cotidiana, crecimiento poblacional. 

Podemos observar en una gráfica cual ha sido el crecimiento poblacional mundial, por país, ciudad o estado a lo largo de diferentes tiempos, que ayuda al pronóstico de tiempos futuros.

Y así, definir el límite y su tendencia.

Se dice que el crecimiento poblacional es estable, y tiende al infinito, bajo el supuesto de que quedan cinco mil millones de años para que nuestro sol colapse y muera.

Habría que analizar qué pasa cuando la población se enfrente a una escasez de recursos, como alimentos, salud o energías.

Ejemplos en la vida cotidiana, automóviles. 

Los límites ayudan a conocer una derivada de la función, veamos el siguiente ejemplo.

Vamos a suponer que nos encontramos viviendo en la ciudad de Hermosillo, que es la capital del estado de Sonora, y debemos ir a la ciudad de México a realizar un trámite importante, asistir a un evento deportivo o artístico, la boda de un familiar o el bautizo de algún primo. No importa el motivo, el punto es que viajemos.

Enciende el coche, relájate, ponte el cinturón de seguridad y prepárate con buena música ya que La distancia entre ambas ciudades es de 1,907 km.

Si vamos manejando un coche particular, y de antemano sabemos que el total de tiempo que nos llevamos en ir manejando es de 19 horas con 4 minutos. La velocidad en la que nos desplazamos es obvia… te animas a danos la respuesta?

… silencio…

Bueno, Si recorres 1900 kilómetros en 19 horas significa que habremos recorrido 100 kilómetros por hora.

Te pregunto, en todo el recorrido es correcto decir que mantuviese una velocidad constante de 100 km/hora. Que mantengas esa velocidad continua sin ningún altibajo.

Seguramente tu respuesta es negativa, debido a que quizás en algún momentos recorriste a 80km/hr o quizás pisaste el acelerador en algunas partes para recuperar tiempo perdido. Si te detienes a recargar gasolina, a ir al baño, a comer una rica hamburguesa o cualquier otra parada, seguramente, si quieres llegar en el lapso de 19 horas, en algún momento de la carretera tendrías que haber aumentado la velocidad.

Entonces entendemos que la velocidad en todos los segundos del viaje no fue continua y estuvo variando.

Si queremos conocer con exactitud qué velocidad llevabas a las 12:00 am, cuando iniciaste el recorrido, seguramente será otra diferente a la que llevabas a las 07:00 am, y otra totalmente diferente a las 10:30 am.

Si quisiéramos saber la velocidad que llevábamos a la 15:21 pm, necesitaríamos que el tiempo de medición fuera lo más pequeño posible, casi instantáneo.

Sin saberlo, estamos transitando un terreno matemático puro, queremos alcanzar el valor de la velocidad instantánea, es intentar, de alguna forma, que el intervalo de tiempo a medir se acerca cada vez más a cero.

Sabes cómo se llama en idioma matemático Ese valor que representa la velocidad instantánea en cada memento.

Eso es lo que se llama la derivada.

Derivadas, concepto. 

La noción del límite de derivada aparece cuando uno tiene un proceso que está cambiando continuamente. Que no es constante en el tiempo, sino que está cambiando, y esa razón de cambio, la manera en cómo cambia, la velocidad de cambio justamente, es lo que mide la velocidad.

Por eso es tan importante porque permite hacer predicciones.

Para entender mejor a las derivadas tomaremos el siguiente ejemplo de una manzana.

Derivadas, ejemplo manzana.

Alguna vez Newton se preguntó porque un objeto siempre desciende perpendicularmente al suelo y descubrió la ley de gravedad.

Newton en algún sentido es sinónimo de la ley gravedad, y hay algunos que también afirman que es sinónimo de manzana.

Observar la caída de un objeto siempre arroja muchísima información. En el siguiente ejemplo tomaremos tiempos muy precisos, para ello, gracias a una medición que hemos realizado anteriormente,

Sabemos que el edificio en donde nos encontramos tiene una altura total de 100 metros. Al tirar la manzana, esta tarda en llegar al piso 05 segundos.

La velocidad promedio entonces es de 20 metros por segundo.

Pero como nosotros sabemos, porque hemos visto caer manzanas y otros objetos; la fruta no cae a una misma velocidad todo el tiempo, sino que, cuanto más tiempo pasa, la manzana viaja más rápido hacia el piso, es decir, va acelerando.

Y si uno calculara cuanto tiempo tarda en recorrer los últimos 50 metros. Ahí descubrimos que la manzana tarda 1 segundo y medio. Por lo tanto, su velocidad promedio en ese tramo es de 33 metros y un poquito más por segundo.

¿Y si hacemos el cálculo los últimos 20 metros? Sabemos que la manzana tuvo que ir más rápido en promedio, que las mediciones anteriores. Y efectivamente eso pasa.

Para los últimos 20 metros, La manzana tarda medio segundo, o sea que en algún sentido es como si se hubiese transformado en un bólido que viaja a 40 metros por segundo.

Estas mediciones sugieren que entre más chicos sean los intervalos de medición, mejor será la aproximación que uno va a tener a la velocidad en un determinado instante. Y para eso la noción de límite es determinante. La noción de límite fue el cambio, ese fue la idea.

Continuidad, ejemplo de persona que sube.

Vamos a analizar el siguiente ejemplo para entender que es una continuidad. La continuidad se forma en una línea en la que ningún memento el lápiz con el que es trazado se levanta de la hoja en donde se está dibujando.

Aplica para eventos que son medidos en el tiempo, o en otra variable, que la medición es continua, segundo a segundo, hora a hora o día a día, según la variable X, en los gráficos.

Suponiendo que tenemos el siguiente ejemplo. ¿ya regresaste de la ciudad de México? No desempaques, ahora nos toca caminar.

Estudiaremos el teorema de Bernard Bolzano, que es un bohemio que vivió en Praga entre el siglo 18 y siglo 19.

Imaginemos que deberemos de subir una pequeña colina, no hace falta que sea muy alta, pero para subir solo existe un sendero, para hacerlo. Hay dos consignas que debemos de cumplir, podemos empezar a escalar a partir de las nueve de la mañana, antes no. el viaje lo hace como quiera, tú decides, a la velocidad que quieras, incluso, puedes parar o puedes retroceder en algunos momentos. Pero la otra condición es que a las 12 del medio día tienes que estar arriba.

Eso sí, te conviene llevar un toldo, una casa de campaña porque pasaremos un día en la montaña para reponernos del viaje y volver al punto de partida.

No nos olvidemos que al día siguiente deberemos de empezar nuestro recorrido a las 09 de la mañana para bajar a las 12 del mediodía.

Una vez más, tenemos la facilidad de recorrerlo como más nos plazca, el ritmo es tuyo. Acelera y descansa todo lo que quieras.

¿Llegamos?

Ahora escucha lo que te diré aunque parezca increíble, existe al menos un lugar de nuestra travesía en donde estuvimos a la misma hora tanto a la ida como a la vuelta.

Eso es difícil de creer por todas las libertades que tuvimos durante el camino, y sin embargo, es así. Seguimos con este argumento.

Imagina que en el momento en el que iniciamos nuestro camino ascendente, al mismo tiempo otra persona empieza a descender, como usted advierte, entonces, hagan lo que hagan, tiene que haber el momento en el que los dos tienen que cruzarse, y cuando se cruzan están los dos a la misma altura y en el mismo momento.

Ahora, si en lugar de haber sido dos personas, trazamos sobre una gráfica su camino de ascendencia y su camino de descenso, encontraremos que en algún punto de la gráfica tú te habrías cruzado contigo mismo en algún momento.

Y ese momento, en ese lugar es lo que estamos buscando. Ese lugar es en donde estuvimos en la misma hora en la misma altura del día al subir y al bajar.

Explicando la gráfica, en la función continua en el eje horizontal se encuentra el tiempo, en el eje vertical tenemos la distancia que nos encontramos del origen, o sea, del punto de partida, la altura.

El color dorado en la gráfica representa el ascenso a la montaña.

A medida que va pasando el tiempo se forma una curva, que sube cuando tú avanzas en el camino y baja si decidimos retorcer. Quizás a recoger algo que se nos calló, pero sigue avanzando debido a que la medición del tiempo avanza, es continua, no significa que por regresar a recoger un gorro, el tiempo también retrocede.

El tiempo es continuo, el tiempo avanza. La parte de la curva que baja significa que usted está retrocediendo. Pero al retroceder, el tiempo sigue avanzando.

Que te detengas significa que la gráfica se estabiliza en una línea recta hasta que decidas moverte.

La línea roja representa nuestro ascenso, esa línea también es continua y se tienen que tocar al menos una vez.

El punto de intersección representa el lugar en el que tú pasaste a la misma hora tanto a la ida como a la vuelta.

La clave de esta operación es que eran dos funciones continuas.

Con la misma lógica, si la temperatura llega a los 15 grados, y al medio día ya llego a los 32, esta claro que en algún momento de la mañana el termómetro tiene que haber tocado los 17 grados. Y los 18, y los 19. O sea tuvo que haber pasado por todos los estadios intermedios.

La temperatura no puede saltar de 15 a 32 grados sin haber transitado por todas las posibilidades intermedias,

Y porque pasa eso?

Eso pasa porque la temperatura es una función continua,

Así es como suceden los fenómenos en el territorio de las funciones continuas

Despedida

A nombre de los que conformamos EDUCEM, te agradezco por presenciar esta clase virtual, nuevamente te recuerdo mi nombre Ricardo López López, y cualquier duda me puedes enviar un mensaje a través de la plataforma.

Gracias.

Hasta luego.